解法

このような複数文字が登場する式の因数分解は、１つの文字だけに注目して整理するところから始めてください。突破口が開けます（ふつう、次数が一番低い文字）

a³(b－c)＋b³(c－a)＋c³(a－b) を、例えば a に注目して整理すると、
＝a³(b－c)－a(b³－c³)＋b³c－bc³
となり、さらにできる範囲で因数分解を進めると、
＝a³(b－c)－a(b－c)(b²＋bc＋c²)＋bc(b²－c²)
＝a³(b－c)－a(b－c)(b²＋bc＋c²)＋bc(b－c)(b＋c)
＝(b－c){a³－a(b²＋bc＋c²)＋bc(b＋c)} となります
 
（※※※）

これ以降は、「（２次である）b または c の式」と見直して、２次式の因数分解と捉えます。
(b－c){a³－a(b²＋bc＋c²)＋bc(b＋c)}
＝(b－c)(a³－ab²－abc－c²a＋b²c＋bc²)
＝(b－c){(c－a)b²＋(c²－ac)b＋a³－c²a}
＝(b－c){(c－a)b²＋(c－a)cb－a(c²－a²)}
＝(b－c){(c－a)b²＋(c－a)cb－a(c－a)(c＋a)}
＝(b－c)(c－a){b²＋cb－a(c＋a)}

ここで、x²＋5x＋6 等の因数分解を考える時と同様に、
・足して c
・かけて －a(c＋a)
となる組み合わせを考えます。
結果的には、－a と c＋a が該当します。

ですので、{　} 部分は、(b－a)(b＋c＋a) となりますので、
全体としては、
＝(b－c)(c－a)(b－a)(b＋c＋a) となります

この状態で終わってもらっても結構ですが、一応、a, b, c が循環しているように記述しておきたいので、(b－a) を －(a－b) とすることで、最終的には、
－(a－b)(b－c)(c－a)(a＋b＋c) としておいた方がきれいです

 
 
（※※※）の箇所以降について、３次式の因数分解ですので「因数定理」を使う、という発想でも解けます（数Ⅱの範囲）
{a³－a(b²＋bc＋c²)＋bc(b＋c)} 部分の a に a＝b を代入してみると、計算結果が（たまたま）0 になるので、(a－b) を因数に持っていることになります。そこで、この部分を (a－b) で割れば（筆算で求める）、商として、a²＋ab－bc－c² が出てきます

この段階で、全体としては、
(b－c)(a－b){a²＋ab－bc－c²} となっています

さらに、{　} の中だけを因数分解していきますが、最後の部分が －c(b＋c) ですので、
＝(b－c)(a－b){a²＋ab－c(b＋c)}
＝(b－c)(a－b){a＋(－c)}{a＋(b＋c)} となります
（足したら b、かけたら－c(b＋c) となる組は「－c」と「b＋c」のため）

よって、これを整えると、
＝(b－c)(a－b)(a－c)(a＋b＋c)
＝－(a－b)(b－c)(c－a)(a＋b＋c) となります