図の△ABCのBC上に点Dをとり、点Aから点Dを通るように線分AEをとる。点BからAEに垂線をおろし、点CからAEにおろした垂線との交点をFとする。このとき、BD・CF＝BE・CDとなることを証明しなさい。

 
 
【解説】

〔方針〕
「BD・CF＝BE・CD」という辺の長さの積が等しくなる、ことを証明する問題です。
「辺の長さの積」が出てきた場合は、「相似な図形の、対応する辺の比を使って比例式を立てて」みてください。

この場合であれば、「△BEDと△CFDが相似である」ことが言えれば、比例式をつくることができます。

〔証明〕
△BEDと△CFDにおいて、
仮定より、∠BED＝∠CFD＝90°…①
対頂角は等しいので、∠BDE＝∠CDF…②

①、②より　２組の角がそれぞれ等しいので、
△BED∽△CFD

相似な図形では、対応する辺の比は等しいので、
BD：CD＝BE：CF　となる。
（比例式では、〔内項の積〕＝〔外項の積〕という関係がある）
よって、BD・CF＝BE・CD　（証明終わり）

＜まとめ＞

・「辺の長さの積」が出てきた場合は、相似な三角形を見つける
・相似な三角形の対応する辺の比は等しいので、比例式を立てる
・比例式では、〔内項の積〕＝〔外項の積〕