しかし、「点Cは直線AB上にある」ということから、直線ABの式にCの座標(a, a＋1)を代入すると成り立つ、ということになります。

つまり、直線ABの式を求めて、その式に(a, a＋1)を代入すればよい、ということです。
（求めたい１次関数のグラフが通っている2点の座標が分かれば、式は求められる）

「グラフが通っている2点の座標」から、そのグラフの傾きを求めると、
〔ABの傾き〕＝9/6＝3/2
よって、ABの式は y＝(3/2)x＋b という形になります。

これにB(4, 10)を代入すると、
(3/2)・4＋b＝10
6＋b＝10
b＝4
したがって、直線ABの式は y＝(3/2)x＋4 だと分かります。

これに、C(a, a＋1)を代入して、
(3/2)a＋4＝a＋1
(1/2)a＝－3
a＝－6　（答え）

＜まとめ＞

・直線上にある点は、その座標を直線の式に代入したとき、式が成り立つ
・求めたい１次関数のグラフが通っている2点の座標が分かれば、式は求められる
・「グラフが通っている2点の座標」から、そのグラフの傾きを求める