| 〔質問〕 a＝√(4320/n) として、nを自然数とします。この時、次の各問いに答えなさい。 （１）aが整数になるような n のうち、最も小さい値を求めなさい。 （２）aが整数になるような n は全部でいくつあるかを答えなさい。 何か、公式でもあるのでしょうか。 |
| 〔回答〕 「√ がはずれて、整数となる」というのは、要は２個のセットごとにルートの外に取り出せればいいということです。 例えば、√32 というのは、3 が２個あることから √32＝3 というような変形ができると思います。 他にも、√(34×52) というのだと、√(32×32×52) というのと同じですが、これも順に「3×3×5」という形でルートを外すことができます（√(32×32×52)＝3×3×5） 今回の場合、4320＝25×33×5 なわけですが、√(4320/n) が整数となるためには、ルートの中が 2●×3■×5▲（●, ■, ▲ はそれぞれ偶数）という形になっていればいいはずです。 ※ 偶数乗になっていれば「２個セット」というのを作れるはずなので、それごとにルートの外に取り出せます。 （１）a が整数になるようなnのうち、最も小さい値を求めなさい。 a＝√(4320/n) ＝√(25×33×5/n) ですが、このときルートの中はきれいな「２個セット」の形になっていません。 2, 3, 5 がそれぞれ１個ずつ邪魔ですから、これらを消しさえすればルートの外に出し切ることができます。 つまり、n＝2×3×5 とすればいいということです。 （２）a が整数になるような、n は全部でいくつあるかを答えなさい。 a が整数となるためには、√(2●×3■×5▲)（●, ■, ▲ はそれぞれ偶数）という形になっておく必要があります。 そのためには、 ・2● の箇所が 1（＝20）か、22 か 24 ・3■ の箇所が 1（＝30）か、32 ・5▲ の箇所が 1（＝50） というようになっておく必要があります。 ※ 数学では0乗というものは１として扱います（20＝1, 30＝1 など）。ただし、いまいちわかりにくい場合は 2●, 3■, 5▲ の部分が完全に割り切れて 1 になっているケースを考えている、と思ってもらっても結構です。 そうなるように n を設定すればOKで、 例えば、ルートの中が 22×32×1 となるようにするためには、4320（25×33×5）を 23×31×5 で割っていればいいということで、これが n の１つということになります。 |
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