中３数学：相似の証明（直角三角形）

・直角三角形にある２つの鋭角のうち、どちらかが等しくなっていることを見つける
・（鋭角の１組）＋（直角の１組）で、「２組の角がそれぞれ等しい」と持っていく
・直角三角形の中に、垂線を使って直角三角形を新たにつくると相似な直角三角形ができる

【例題】
∠A＝90°の直角三角形ABCにおいて、頂点AからBCに垂線ADをひいた。このとき、△ABC∽△DACであることを証明しなさい。
相似証明３

【解説】
「直角三角形の相似」を証明する場合は、直角三角形にある２つの鋭角のうち、どちらかが等しくなっていることを見つけます。
直角部分（90°の角）が問題で示されているため、仮定としてそのまま使えるためです。

つまり、（鋭角の１組）＋（直角の１組）で、「２組の角がそれぞれ等しい」と持っていくのです。

〔証明〕
△ABCと△DACにおいて、
仮定より　∠BAC＝∠ADC＝90°…①　（←角の大きさが分かっていれば書いておく）
共通な角なので、∠ACB＝∠DCA…②

①、②より　２組の角がそれぞれ等しいので、
△ABC∽△DAC　（証明終わり）
相似の証明４

上の例題と同じ証明方法で、「△ABC∽△DBA」も証明することができます。

また、その結果からも分かる通り、「直角三角形の中に、垂線を使って直角三角形を新たにつくると相似な直角三角形ができる」ことになります。

上の図に示したように、「等しい大きさの鋭角に同じ記号（〇や●）を入れておく」ことで問題が解きやすくなります。ぜひ、使ってみてください。

※ 理解を優先するために、あえて大雑把に書いてある場合があります