〔詳細〕
確率の問題であれば、区別が必要です。なぜなら確率というのは「出やすさ」を求めることが目的であるためです。

例えば、２個のサイコロを同時に投げて、１・１と出るのは、両方のサイコロが同時に 1/6 という確率を引き寄せて初めて実現するものです。片方も１、他方も１なので、言ってみれば奇跡の産物なわけです。
それに対して、１・２という出方は、そこまではきつい状況ではないわけです。イメージとしては、片方のサイコロが１でなく２を出してしまったとしても、相手がうまく合わせてくれれば何とかなるわけです。

こういうことを考慮するためには、あくまでも「別のサイコロ」という観点で、（１, ２）と（２, １）を別扱いしておけばいいのです（２通りとしてカウントされるため）
これで（１, １）よりは出やすい、という計算を得ることができます

 
一方、区別が不要なのは、基本的に確率ではなく、単純に「何通りか」を求める問題（の一部）です。「出てきた結果を『１通り扱い』するのかどうか」が区別の有無の判断材料です。

例えば、２個のサイコロを投げて、「目の和の合計は何通り？」と聞かれれば、（１, ２）と（２, １）はどっちにしても「３」です。つまり、（区別した場合なら）２通りとカウントするものが、今回の問題であれば『１通り扱い』となるので、区別する必要がなくなります。