回答

元の関数上の点を（x, y）、これに対応する新しい関数（対称移動後の関数）上の点を（X, Y）とします。
最終的に欲しいのは後者の（X, Y）の対応関係ですが、これを元の（x, y）の対応関係である y＝f(x) を用いて求めようとしていることに注意してください。
 
さて、これを踏まえて今回の対称移動ですが、「新しい方から元の方に戻す」という捉え方をしてもらうと、
 
① x軸に関して対称（上下対称）
新しい関数上の点（X, Y）に対して、y座標だけを－1倍した（X, －Y）は、元の点に戻っているはずです。
この戻った点はもちろん元の関数 y＝f(x) 上にありますので、－Y＝f(X) という対応関係が成り立っているはず、ということです。
 
※ 別の捉え方
元の関数を使って得られた f(x) を－1倍したものが、新しい Y であると捉えると、Y＝－f(x) ということになります
 
② y軸に関して対称（左右対称）
考え方としては同様ですが、新しい関数上の点（X, Y）に対して、x座標だけを－1倍した（－X, Y）は、元の点に戻っているはずです。
この戻った点は元の関数 y＝f(x) 上にありますので、今度は、Y＝f(－X) という対応関係が成り立っているはず、ということです。
（ X を－1倍した上で元の関数に放り込めば、y（＝Y）が得られる）
 
 
 
同様の考えをすれば、x軸方向の平行移動で、符号が感覚と逆になる理由も説明することができます。
これも、新しい（X, Y）を、元の関数を使って求めているためです。

例えば、x軸方向に＋3平行移動したグラフを考える場合、新しい X は、元の x を用いて、X＝x＋3 となります。ただ、分かっているのは元の関数の方なので、x＝X－3 とした上で（元の関数に）代入しないといけないのです。