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例えば、0.567という10進数を２進数で表す場合、最後の答えが、0.abcd…₍₂₎ のように記述されるとします（それぞれの位の数は、0 か 1 ）
このとき、小数以下は前から順に、「2^－1（＝1/2）の位」「2^－2（＝1/2²）の位」「2^－3（＝1/2³）の位」… となっていて、
\[0.567= \frac{a}{ 2^{1} } + \frac{b}{ 2^{2} } + \frac{c}{ 2^{3} } + \frac{d}{ 2^{4} } + . . . \]
というような関係が成り立ちます。
（そもそも、こういうものとして２進数を定義している）
 
ここから、a, b, c, d を導き出していきたいわけですが、まず、全体的に２倍してみると、
\[1.134= a + \frac{b}{ 2^{1} } + \frac{c}{ 2^{2} } + \frac{d}{ 2^{3} } + . . . \]
となります。全体的に「繰り上げているようなイメージ」です。

で、a は 0 か 1 なので、a＝1 として定めてもらったらいいわけです。
（正確には「b 以降の部分の合計が１に満たないため、左辺の整数部分＝a となる」）
 
そして、a＝1 というのをこの式から取り除くということをしてください。
（ここが質問者のよくわからなかったところだと思います）

つまり、先ほどの
\[1.134= a + \frac{b}{ 2^{1} } + \frac{c}{ 2^{2} } + \frac{d}{ 2^{3} } + . . . \]
の左辺から「1」、右辺から「a（＝1）」を除けば、
\[0.134= \frac{b}{ 2^{1} } + \frac{c}{ 2^{2} } + \frac{d}{ 2^{3} } + . . . \]
となります。その後、「全体的に２をかけて、繰り上げていく」という作業を繰り返していけば、b, c, d, … と順番に定めていくことができる、という仕組みです。

というわけで、２進数を求める筆算をする場合、「判明した箇所を取り除いて、残りの部分を計算するため」に、小数部分だけで計算を進めていくのです。

※ ２進数以外の場合でも同様です。n をかけながら、整数部分を取り除いていってください