【証明】
点Cを通り、辺DAに平行な直線と、BAを延長した直線の交点をEとします。

AD//ECより、
同位角は等しいので、∠BAD＝∠AEC
錯角は等しいので、∠DAC＝∠ACE
仮定より、∠BAD＝∠DAC　（←角の二等分線）よって、∠AEC＝∠ACEとなり、△ACEは二等辺三角形となるので、AE＝AC…①
また、△BECで、AD//ECより、BA：AE＝BD：DC…②　（←平行線と線分の比の性質）

①、②より、AB：AC＝BD：DC　（証明終わり）

このように、三角形の内角の二等分線には、辺の比を決める性質があります。

〔角の二等分線の性質〕
∠BAD＝∠DACならば、AB：AC＝BD：DC

ただし、こちらの証明方法は「新たに外に図形をつけたす」ものになりますので、知っておかないと対応は難しいと思います。
ぜひ練習しておいてください。

＜まとめ＞

・三角形の内角の二等分線には、辺の比に関わる性質がある
・∠BAD＝∠DACならば、AB：AC＝BD：DC
・この証明方法は、覚えておかないと思いつきにくい