＜ポイント＞
・「三角形の２つの中点を結んだ」ときに使える定理を中点連結定理という
・〔中点連結定理〕MN//BC, MN＝(1/2)BC
・平行四辺形となる条件に合わせて考える
【例題】
四角形ABCDの４つの辺AB, BC, CD, DAの中点をそれぞれ、P, Q, R, Sとするとき、四角形PQRSが平行四辺形となることを証明しなさい。
〔方針〕
まずは、図がない問題ですので、自分で思うように四角形ABCDを描いてみます。
そして、その「中点をとっていく」と、四角形の対角線を利用して、中点連結定理を使えることに気付けます。
四角形ABCDの４つの辺AB, BC, CD, DAの中点をそれぞれ、P, Q, R, Sとするとき、四角形PQRSが平行四辺形となることを証明しなさい。
〔方針〕
まずは、図がない問題ですので、自分で思うように四角形ABCDを描いてみます。
そして、その「中点をとっていく」と、四角形の対角線を利用して、中点連結定理を使えることに気付けます。
【証明】
四角形ABCDの対角線BDをひくと、
△ABDにおいて、PはABの中点、SはADの中点なので、
中点連結定理より、PS//BD, PS＝(1/2)BD…① となる。
△CDBにおいても、同様にして、 （←同じ証明方法をくり返すときは、このように省略する）
QR//BD, QR＝(1/2)BD…②
①、②より、PS//QR, PS＝QR
１組の対辺が平行でその長さが等しいので、四角形PQRSは平行四辺形である。
＜補足＞
今回は対角線BDを使いましたが、ACを使っても同様の証明ができます。
まずは、図を描いて考えることが大切ですので、どんどん描いてみてください。
いい練習になりますよ！
＜まとめ＞
・「三角形の２つの中点を結んだ」ときに使える定理を中点連結定理という
・〔中点連結定理〕MN//BC, MN＝(1/2)BC
・平行四辺形となる条件に合わせて考える
| ※ 理解を優先するために、あえて大雑把に書いてある場合があります |
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