中３数学：相似比と面積比（練習問題１）

・三角形の底辺に平行な直線があれば、相似な三角形ができる
・〔相似な三角形の対応する辺の比〕＝〔相似比〕
・相似比 m：n ⇒ 面積比 m²：n²

【例題】
図の△ABCにおいて、DE//BC、AD：DB＝2：3 となっていて、△ABCの面積が 25 となっています。
このとき、四角形DBCEの面積を求めなさい。
相似比と面積比２

【解説】
△ADEと△ABCにおいて、
共通な角なので、∠DAE＝∠BAC　
DE//BCで、同位角が等しいので、∠ADE＝∠ABC
よって、２組の角がそれぞれ等しいので、△ADE∽△ABC
（「三角形の底辺に平行な直線があれば、相似な三角形ができる」ということ）

また、AD：AB＝2：(2＋3)＝2：5　（←相似な三角形の対応する辺の比）
つまり、△ADEと△ABCの相似比は 2：5 ということ。

したがって、面積比は
△ADE：△ABC＝2²：5 ²＝4：25　となります。

このことと、△ABCの面積は 25 ということから、
△ADE＝25×(4/25)＝4

求めたい「四角形DBCEの面積」については、下図のように△ABCを分解できるので、
四角形DBCE＝△ABC－△ADE＝25－4＝21　（答え）
相似比と面積比３

今回、問題で「四角形の面積」を問われていましたが、直接四角形の面積を求めず、
（大きな三角形の面積）－（小さな三角形の面積）をすることで、答えを出しました。

これは、三角形と四角形では「相似の関係」にはならないからです。
高さも長さも分からないのなら、相似比から面積比を求める方法はありません。

そのため、遠回りにはなりますが、「三角形の面積を使って四角形の面積を求める」という方針をとりました。

※ 理解を優先するために、あえて大雑把に書いてある場合があります