【例題１】
連続する２つの自然数があり、それぞれの2乗の和は、この２つの自然数の積の3倍から41をひいた数に等しい。この連続する２つの自然数を求めなさい。
 
 
【解説１】
連続する２つの自然数を x, x＋1 とします。

〔それぞれの2乗の和〕＝〔２つの自然数の積の3倍から41をひいた数〕
という関係であることから、
x²＋(x＋1)²＝3x(x＋1)－41
という２次方程式が成り立ちます。

これを解くと、
x²＋(x＋1)²＝3x(x＋1)－41
x²＋x²＋2x＋1＝3x²＋3x－41
－x²－x＋42＝0
両辺に (－1) をかけると、
x²＋x－42＝0
(x－6)(x＋7)＝0
x＝－7, 6
ただし、xは自然数なので、
x＝6

したがって、連続する２つの自然数は、6, 7　（答え）
 
 
【例題２】
連続する３つの整数があります。この３つの整数の和の2倍は、大きい方の２つの整数の積に等しくなっています。これら３つの整数を求めなさい。
 
 
【解説２】

連続する３つの自然数を x－1, x, x＋1 とします。

〔３つの整数の和の2倍〕＝〔大きい方の２つの整数（xとx＋1）の積〕
という関係であることから、
2{(x－1)＋x＋(x＋1)}＝x(x＋1)
という２次方程式が成り立ちます。

これを解くと、
2{(x－1)＋x＋(x＋1)}＝x(x＋1)
2・3x＝x²＋x
－x²＋5x＝0
両辺に (－1) をかけると、
x²－5x＝0
x(x－5)＝0
x＝0, 5
つまり、連続する３つの整数のうち、真ん中の数が 0 か 5 となるので、
x＝0 のとき、連続する３つの整数は　－1, 0, 1　（答え）
x＝5 のとき、連続する３つの整数は　4, 5, 6　（答え）
これらはともに、問題に適している。

＜補足＞

「連続する２つの自然数を x, x＋1 として表す」「連続する３つの自然数を x－1, x, x＋1 として表す」ことが基本ですが、必ずしもこのように x をおく必要はありません。

・連続する２つの自然数を x－1 , x として表す
・連続する３つの自然数を x, x＋1, x＋2 として表す
でも構いません。

いずれの場合でも、「自分がどの数を x とおいたのか」を意識して解くようにしてください。

＜まとめ＞

・連続する２つの自然数を x, x＋1 として表す
・連続する３つの自然数を x－1, x, x＋1 として表す
・解が出たら、問題の条件に合うか確認する