〔質問〕

数学でたまに見かける「指数をとる」はそもそもどういう考え方で「指数をとる」という発想に至ることが多いでしょうか？
いきなりでてくることが多く、なぜそうしようと思ったのかがよくわかりません

〔回答〕

「指数をとる」というのはあまり一般的な工程・言い方ではないかと思います。

通常は、その逆の、「対数をとる」というのが一般的で、
これは A＝B や A＜B の場合、log A＝log B や log A＜log B（底＞1 の場合）の関係性になることを利用したものです。
例えば 10³ と 10⁴ を比較する際に、直接的に 1000 と 10000 を比較するのではなく、指数の 3 と 4 だけを比較しようとする意図のものです。

たしかに意味合い的には「指数を取り出す」ことではありますが、通常は「対数をとる」（底が 10 なら、10³ の対数である 3 と、10⁴ の対数である 4 を得る作業）という表現をします。
 
 
着想については、直接的に a^b の形式のままでは進めらないときの打開策です。
対数にしてしまえば、対数特有の計算を使うことができるため、それによって先に進める可能性が広がる、というものです。