<ポイント>
・「平行四辺形となる条件」のうち、どれが使えるか考える
・平行四辺形をつくる辺の長さは分かりにくいが、「平行である」線分はある
・同じ証明方法をくり返す場合は、「同様にして」と省略することがある
【問題】
図の四角形ABCDは平行四辺形である。その辺AD,BCの中点をそれぞれM,Nとし、線分ANとBMの交点をP、線分DNとCMの交点をQとする。このとき、四角形MPNQが平行四辺形となることを証明しなさい。
【方針】
四角形MPNQについて、辺の長さに関することは分かっていないので、「平行である」ということを使います。
この問題のように、平行四辺形の中に(新たに)平行四辺形をつくるタイプでは、「平行な線分を見つけやすい」場合が多いです。
【証明】
四角形ANCMにおいて、 (下図、オレンジ色)
仮定より、AM//NC…①
M,NはそれぞれAD,BCの中点なので、
AM=(1/2)AD, NC=(1/2)BC と表せて、
平行四辺形の対辺はそれぞれ等しいので、AD=BC
よって、AD=BC…②
図の四角形ABCDは平行四辺形である。その辺AD,BCの中点をそれぞれM,Nとし、線分ANとBMの交点をP、線分DNとCMの交点をQとする。このとき、四角形MPNQが平行四辺形となることを証明しなさい。
【方針】
四角形MPNQについて、辺の長さに関することは分かっていないので、「平行である」ということを使います。
この問題のように、平行四辺形の中に(新たに)平行四辺形をつくるタイプでは、「平行な線分を見つけやすい」場合が多いです。
【証明】
四角形ANCMにおいて、 (下図、オレンジ色)
仮定より、AM//NC…①
M,NはそれぞれAD,BCの中点なので、
AM=(1/2)AD, NC=(1/2)BC と表せて、
平行四辺形の対辺はそれぞれ等しいので、AD=BC
よって、AD=BC…②
①,②より、1組の対辺が平行でその長さが等しいので、
四角形ANCMは平行四辺形になる。
このことから、PN//MQ…③
同様にして、四角形MBND(下図、水色の四角形)も平行四辺形となるので、MP//QN…④
(先にしたのと同じ証明方法をとるなら、「同様にして」と省略することができる)
③,④より、
2組の対辺がそれぞれ平行となるので、四角形MPNQは平行四辺形となる。(証明終わり)
<まとめ>
・「平行四辺形となる条件」のうち、どれが使えるか考える
・平行四辺形をつくる辺の長さは分かりにくいが、「平行である」線分はある
・同じ証明方法をくり返す場合は、「同様にして」と省略することがある
※ 理解を優先するために、あえて大雑把に書いてある場合があります |
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