解答では、₂P₂/₆P₃ = 1/60が答えだとされていたのですが、なぜ全事象の場合の数を₅P₃ではなく₆P₃としているのでしょうか。
理由を教えていただきたいです。

便宜的に「黒が出たら終わる」を無視して考えても、確率の計算上、支障がないためです。

具体的には、
まず「１回目で黒が出て終わり」の場合について、この確率自体は 1/6 なわけですが、
一方で、これを「（黒が出ても終わらずに）３回投げて、最初に黒が出る確率」と読み替え、
・黒→赤1→赤2
・黒→赤1→白1
・黒→赤1→白2
…
を考えて、「1/120 のものが20個分ある」と捉えても、発生確率としては 1/6 で同じなわけです。
（この20個分が一括りにされているだけ）

これは２回目に黒が出る場合についても同様ですので、
これらのことを踏まえて、「黒が出たら終わる」を無視して「120通りのうちの該当するもの」と考えても大丈夫、という判断をしている解答になります。

なお、無理にこの解答通りの考え方をする必要はなく、
ふつうに (2/6)×(1/5)×(1/4) の計算で全く支障ないです。