〔質問〕

2次関数の問題で、「3点 (1,0), (-3,0), (2,-5) を通る2次関数を求めよ」というのがあって、解説に「2点 (1,0), (-3,0) を通るので、2次関数は　y=a(x-1)(x+3)とおける。・・・」と書いてあるのですが、どうしてそうなるのかわかりません。解説お願いします。

〔回答〕

例えば y＝x²－3x＋2 という２次関数について、「x軸との共有点」を求めるように言われたら、
x軸上の点は y＝0 ですから、0＝x²－3x＋2 という方程式を考えることになり、
因数分解して (x－1)(x－2)＝0 で、x＝1, 2 という感じに求まります（(1, 0) と (2, 0)）。

つまり、y＝(x－●)(x－■) という形式の２次関数は「x軸との共有点が (●, 0) と (■, 0) 」ということに対応しているわけですが、
今、問題で与えられている３点をよく見ると、そのうちの２つが（たまたま）y座標が 0 のものにしてくれていますので、上記の話を利用してあげればいい、という判断ができます。
 
 
ただ、x軸との共有点が (●, 0) と (■, 0) となる２次関数は y＝(x－●)(x－■) だけでなく、
例えば、y＝(x－1)(x－2) 以外に、y＝2(x－1)(x－2) や y＝－(x－1)(x－2) についても、y＝0 のときの解は x＝1, 2 になります。

図形的には下図のように、２次関数のとがり方の違いに関することですが、最終的にはこの調整をする必要があるため、
y＝a(x－●)(x－■) のような置き方をして、a を求める、というようにしていく必要がある、というものです。