中1数学:反比例の式の決定

<ポイント>

・「yがxに反比例する」とき、y=a/x の式に x, y を代入すると式が成り立つ
・比例定数を求めるときは xy=a の関係を使うと分かりやすい
・y=a/x の式に xを代入するとyの値、yを代入するとxの値がわかる

(1)比例定数 a を求める
「yがxに反比例する」とき、yとxの関係は、「y=a/x(aは比例定数)」で表されます。

式の形が決まっているので、
x の値と、それに対応する y の値が分かれば、「比例定数を求めることができる」ということです。
また、比例定数を求めるときは xy=a の関係を使うと分かりやすいです。
(y=a/x の両辺に x をかけると、xy=a となる)

〔例題〕
① yがxに反比例し、x=3 のとき、y=18 である。y を x の式で表しなさい。

yがxに反比例するので、xy=a(aは比例定数)の形で表せる。
これに、x=3、y=18 を代入すると、
a=3×18=54

したがって、y=54/x

② yがxに反比例し、x=4 のとき、y=−2 である。y を x の式で表しなさい。

yがxに反比例するので、xy=a(aは比例定数)の形で表せる。
これに、x=4、y=-2 を代入すると、
a=4×(-2)=-8

したがって、y=-(8/x)

このように、比例定数 a は「負の数となる」ことがあります。
 
 
(2)x や y の値を求める
「yがxに反比例する」とき、yとxの関係は、「y=a/x(aは比例定数)」で表されるので、
問題で与えられた x, y から比例定数を求めることができます。
その求めたものから、別の x に対応する y の値を求めることができます。

〔例題〕
yがxに反比例し、x=8 のとき、y=−4 である。x=−16 のときの y の値を求めなさい。

yがxに反比例するので、xy=a(aは比例定数)の形で表せる。
これに、x=8、y=−4 を代入すると、
a=8×(-4)=-32
したがって、y=-(32/x) ということが分かります。

この式に、x=−6 を代入すると、
y=−{32/(−16)}
y=2 となり、「x=−16 に対応する y の値」を求めることができるのです。

<補足>

(2)の例題のように、「y の値を求めなさい」という問題であったとしても、一旦は比例定数 a を求めて、「どのような反比例の関係になっているか」を調べる習慣をつけましょう。
まずは、「どんな式になるかを調べる!」ということです。

また、問題で問われているのが、「式なのか」「x や y の値なのか」をしっかりと把握して、解き進めるようにしましょう。

<まとめ>

・「yがxに反比例する」とき、y=a/x の式に x, y を代入すると式が成り立つ
・比例定数を求めるときは xy=a の関係を使うと分かりやすい
・y=a/x の式に xを代入するとyの値、yを代入するとxの値がわかる

 

※ 理解を優先するために、あえて大雑把に書いてある場合があります

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