〔質問〕

（座標などを）三角関数に変換する場合は三角関数独自の性質を活かした方が先がみえそうと思ったタイミングと理解しておけばいいでしょうか？
普段問題文を見る時の意識の仕方などもあればおしえてください

〔回答〕

基本的には、まずはふつうに (x, y) のままで解くという解法を採りながら、
・先に進めなくなった
・計算がややこしそう
といった段階で、打開策の１つとして検討してみる、という流れで構わないです。

たしかに原点中心の円を扱うような場合は初めから sin, cos を使ってもいいですが、
一方で、例えば sinα＋sinβ は sin(α＋β) にはならない等、かえって扱いにくくなる面もありますので、
万能薬というよりは、困ったときの代替案くらいの位置づけで捉えておいた方がいいと思います。

※ 個人的には、「先読み」するというよりは、「とりあえず、打開策として三角関数にしてみて（１回、答案上で目に見えるようにして）、そこから再度いろいろ試してみたら」というような流れで解いているように思います。