〔質問〕

数列の極限の問題で、2ⁿ＞n³/6 が成り立つことを二項定理を用いて表せ、という問題で二項定理まではわかるのですが、そのあとどうしたらいいかわかりません。

〔回答〕

二項定理の利用の仕方については、2ⁿ を (1＋1)ⁿ という見方をして、
(1＋1)ⁿ
＝_nC₀＋_nC₁＋_nC₂＋＋_nC₃…＋_nC_n
＝1＋n＋n(n－1)/2＋n(n－1)(n－2)/6＋…
という変形を行ってください。

※ この変形については自力で思いつく必要はないです。特に数Ⅲ範囲の「二項定理を用いて」という問題タイプではよく使うもので、知識として覚えておけばいいです。
 
 
その上で、
この各項は正の値であるはずのため（そもそも _nC_k というのは組合せの「●通り」を求める計算のため）、
1＋n＋n(n－1)/2＋n(n－1)(n－2)/6＋… は、1＋n＋n(n－1)/2＋n(n－1)(n－2)/6＋[正]　ということになり、
1＋n＋n(n－1)/2＋n(n－1)(n－2)/6＋[正]＞1＋n＋n(n－1)/2＋n(n－1)(n－2)/6 が成り立つことになります（※）。

つまり、(1＋1)ⁿ＞1＋n＋n(n－1)/2＋n(n－1)(n－2)/6 までは二項定理を利用すれば得られることになります。
 
 
今回の問題は「＞n³/6」を示すことですので、後は 1＋n＋n(n－1)/2＋n(n－1)(n－2)/6≧n³/6 が言えればいいことになります（大＞中＞小 の関係となるため）

なお、最後で不等式に「＝」が入ってもいいのは、仮にここが「＝」であっても、A＞B＝C より、A＞C であることには変わりないためです。
（あくまでも A と C の比較）