【質問】数学(高校):合同式の実際の使い方と定義について

〔質問〕

https://school-turnup.com/p-31674/について、
回答では≡の記号に関して
・a:5で割ったときに1余る数
・b:5で割ったときに3余る数
a≡1, b≡3 という書き方をした上で、a+b≡1+3≡4 の部分を「5で割ることをmod5と表現。aの余りが1をa≡1と表現。bの余りを3と表現。a+bの余りを、a+b≡1+3≡4」と理解しました。

しかし、ネットを見ていると
9 を 4 で割った余りと 5 を 4 で割った余りは同じなので 9≡5(mod4) という使い方もされていて最初の理解とは違った書かれ方をしていました。
この≡に関してはどういった風に理解していれば上記の2つの使い方のつじつまがあってくるでしょうか?

〔回答〕

合同式の定義自体は「a-b がmの倍数のとき、a≡b(mod m)とする」というもので、
定義という意味では、9≡5(mod4) の方が直接的な合同式の意味合いです。

(リンク先の質問は性質や使用シーンに関するものですので、実際の使い方やそういう処理ができる理由に即した回答をしています。「a≡1, b≡3 という書き方をした上で」の部分は、「a≡1, b≡3 とおける」という意味合いです)
 
 
ただし、実際に合同式を使う場合、「余りがどうなのか」を議論しているはずですので、「0≦余り≦m-1」に落とし込んでいく必要があり、
そのため、実際に問題を解く上では、9≡5(mod4) というよりは、9≡1(mod4) という方向に持っていくことが基本的な方向性、というものです。

 

※ 理解を優先するために、あえて大雑把に書いてある場合があります

 
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