今回の場合、まず「AB＝AC」に関しては x とでもおいた上で、
「面積が2√2」という情報がありますので、まずはこれの数式化を検討します。
三角形の面積の求め方はいろいろとありますが、sin, cos が絡んでそうなので、S＝(1/2)・AB・AC・sinA を使う可能性が高いという判断ができます。

次にまだ使っていない情報として「BC＝2」というのがあります。
sin, cos が絡んでそうで、かつ、辺に関する話ですので、正弦定理か余弦定理を使う可能性が高そうという判断をします。
ただ、正弦定理だと、外接円の半径か、他の「角と対辺の組」の情報がないと意味がないですので、余弦定理の方から試してみた方がよさそう、という判断をします。

結果として、面積の式と、余弦定理の式を組み合わせれば、諸々求まる、という解法になります。
以上をヒントに考えてみてください。
 
 
なお、あくまでも今回たまたま使える解法として、
二等辺三角形の性質を利用すれば、点Aと、BCの中点Mを結んだときに（二等辺三角形を半分に割る）、このAMが（BCを底辺としたときの）高さに相当しますので、面積から逆算することでAMの長さがすぐに求まります。
それを利用すれば、AB, AC の長さも求まりますので、そこから余弦定理で cosA を求めるということもできます