（※ 以下、文章ではわかりづらい場合、動画解説はこちら）
例えば、以下の「56と21の最大公約数を求めたい」という場合、56も21も何かの倍数なのであれば、黄色の部分（56と、21の2個分との差）も同じく「それ」の何個か分になっているはずです。
ということは、わざわざ「56と21」という大きめの数で考えなくても、「21と黄色の14」とで考えれば「赤１個分」を求めることはできる、ということになります。
これが上記の「複雑な２数の比較から、より簡単な２数の比較に落とし込んでいる」というものです。

 
 
また、この「差の部分が答えの何個か分になっている」という原理を踏まえると、例えば「24と36」の場合も、必ずしも 36÷24 の順の計算をしなくても、「24は36から－12したもの」という見方で「24と－12」の比較をしてもよく、
さらに、この「－12」も、「赤が何個分か」という見方をする上では、勝手に絶対値の「12」として扱ってもいいことになります。

 
 
互除法の基本問題であれば具体的な２数で最大公約数を求めるものが出題されるため、「大きい方÷小さい方」ということをしていけばそれで十分ですが、文字式で与えられた場合はこの原理が本領を発揮します。

例えば「2n＋1 と n＋3」の比較を行う際、2n＋1＝(n＋3)×2－5 ということで「余りが－5（？）」ということになりますが、これも上記の「24と36」の例と同様で別に「5」として扱ってよく、よって「n＋3 と 5」に話を落とし込んで構いませんし、
また、「2n＋1 も、n＋3 も、5 も何かの倍数」ということであれば、絶対に「n＋3 と 5」にしないといけないわけでもなく、「2n＋1 と 5」という比較の仕方をしても問題ありません。
（上記の「56と21」の場合も「21と14」の比較ではなく「56と21」の比較にしても問題はない）