・なぜ1-xになるのか
・なぜ1の符号が変わらないのか
がわかりません。

なお、必ずしもこうしないといけないわけではなく、（下記の処理をきちんとするなら）単純に移項だけした 11(x－1)＝－2(y＋3) とかでも構いません。

２点目に関しては、
11(1－x)＝2(y＋3) という式の意味合いをきちんと考えておく必要があります。
① まず、右辺に注目すると、「2×整数」の形式であるため、2の倍数ということが確定します。
② ということは、それと「＝」で繋がれている 11(1－x) についても2の倍数ということになります。
③ ただ、11と2は互いに素のため、（11(1－x) が2の倍数になるためには）(1－x) の方が2の倍数になっておく必要があります。
④ なので、1－x＝2n という置き方ができる、というものです。

上記で、11(x－1)＝－2(y＋3) としても構わないと記載しましたが、
もしこれで行くなら、
・11(x－1) が2の倍数で、
・よって (x－1) の部分で2の倍数（つまり、x－1＝2n とおく）
という進め方になります。