実際の問題としては、
まず x²＋5x＋6 のような問題（２乗の係数が1の場合）ですが、
これは (x＋a)(x＋b) を展開したら x²＋(a＋b)x＋ab になることを利用します。

つまり、１乗の係数である 5 は「何かと何かを足したもの」、定数項の 6 は「その２つをかけたもの」ですので、
・足したら 5
・かけたら 6
となる２数は何だろうか、と考えることになります。

これには慣れも必要ですが（すらすらできるまで反復する必要はある）、思考回路的には、
「かけたら 6」なのは「1 と 6」か「2 と 3」のいずれかで、そのうち「足したら 5」になるものは「2 と 3」の方、
ということで、(x＋2)(x＋3) だったとわかります
（「3 と 2」と見て、(x＋3)(x＋2) でも可）
 
 
次に、3x²＋10x＋8 のような問題（２乗の係数が1でない）ですが、
これは (ax＋b)(cx＋d) を展開したら acx²＋(ad＋bc)x＋bd になることを利用します。

今回だと、ac の結果が 3 に相当しますので、a と c の候補は「1 と 3」に特定されますが、
一方の bd は 8 ですので、「1 と 8」か「2 と 4」の両方のパターンが考えられます。

a＝1, c＝3 とするなら（逆にしても可（単に最後の答えの前後が入れ替わるだけのため））、ad＋bc が 10 になるというのは、1×d＋b×2 が 10 になるということですが、
この b, d には (1, 8), (8, 1), (2, 4), (4, 2) の４パターン（上記の２パターンの、さらに b, d まで指定したもの）をすべて当てはめながら、うまくいくものを探すことになります。
今回なら、1×4＋3×2 で 10 になりますので、(a, b, c, d)＝(1, 2, 3, 4) で、(x＋2)(3x＋4) だったということになります。

この過程はそれなりに試行錯誤が必要で、さらに ac のパターンが他にもある場合はもっと多くの可能性を検討する必要があります。
※ この作業をもう少しわかりやすくしたのが、「たすき掛け」の際に書く表のようなもの
 
 
なお、因数分解とは「(式の)積の形にすること」ですので、ax＋ay を a(x＋y) に「くくる」ということも該当しますので、一応、このことも忘れないようにはしておいてください