| 〔質問〕 辺の長さがすべて分かっている正三角錐の、高さの求め方ってありますか？ |
| 〔回答〕 △BCDが正三角形、点MはCDの中点とします。 
点Aから△BCDに垂線を下ろして、その足を点Hとおくと、正三角錐（正四面体も含む）の場合は「点Hは△BCDの重心」になり、 以上を踏まえて、 |
〔詳細〕
「点Hは△BCDの重心になる」理由ですが、
まず、△ABH、△ACH、△ADH を見てもらうと、
・それぞれHの所で直角の直角三角形、
・AB＝AC＝AD
・AH 共通
ですので合同ということになり、
よって、BH＝CH＝DH が得られます。
ということは、底面の方で、△BCH≡△CDH≡△DBH（かつ、それぞれ二等辺三角形）となりますので、例えば ∠BCH＝∠DCH＝30° というのが得られます。
△CHMは直角三角形（かつ ∠MCH＝30°）ですので、よって、CH：HM＝2：1 が得られ、かつ CH＝BH より、BH：HM＝2：1 ということになります。
「点Hは△BCDの重心になる」理由ですが、
まず、△ABH、△ACH、△ADH を見てもらうと、
・それぞれHの所で直角の直角三角形、
・AB＝AC＝AD
・AH 共通
ですので合同ということになり、
よって、BH＝CH＝DH が得られます。
ということは、底面の方で、△BCH≡△CDH≡△DBH（かつ、それぞれ二等辺三角形）となりますので、例えば ∠BCH＝∠DCH＝30° というのが得られます。
△CHMは直角三角形（かつ ∠MCH＝30°）ですので、よって、CH：HM＝2：1 が得られ、かつ CH＝BH より、BH：HM＝2：1 ということになります。
（正確には、∠CBH＝30° より、（∠CBH＝∠CBM ということで）B, H, M が一直線上にある、も言う必要がある）
※ 重心自体の説明についてはこちらを参照してください
| ※ 理解を優先するために、あえて大雑把に書いてある場合があります |
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