| 〔質問〕 関数f(x)＝x4＋4x3＋2ax2 が極大値と極小値を持つ時aの範囲を求めよ、と言う問題なのですが、解説に x2＋3x＋a＝0 が x＝0以外と異なる解を持てばいいと書いてあったのですが、なぜ x＝0はダメなのですか？ |
| 〔回答〕 「極大」は「導関数が正から負に切り替わる箇所」、「極小」は「導関数が負から正に切り替わる箇所」というのが該当します。 （これがいまいちよくわからなければこちらを見てください） 今回の関数だと、導関数は f'(x)＝4x(x2＋3x＋a) ですが、例えば a＝0 で f'(x)＝4x(x2＋3x) の場合だと、f'(x)＝4x2(x＋3) ということになり、「導関数のグラフ」としてはこの図のようになります。
x＝－3 の箇所ではきちんと「負から正に」切り替わっていますので、ここで極小ということになりますが、x＝0 の箇所では「正から正」のままになってしまっていて、「極大ではない」という状況になってしまいます。 つまり、極大値と極小値の両方が存在するためには「導関数がx軸と『異なる３点で』交わる」必要があり、今回の場合は x＝0 で重解とならないように「x2＋3x＋a＝0 が x＝0以外と異なる解を持つ」ケースを考えればいい、というものです。 |
| ※ 理解を優先するために、あえて大雑把に書いてある場合があります |
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