【質問】中学数学:「x! が2の32乗で割り切れる2番目に小さいxの値を求めなさい」という問題の考え方

〔質問〕
「x! が2の32乗で割り切れる2番目に小さいxの値を求めなさい」という問題について、どのように考えたらよいかわかりません。
〔回答〕
まず、「232 で割り切れる」ということは、x! の中に素因数2が32個以上あることを意味しています。
(逆に 230×3 等のように32個未満であれば、(230×3)/232 は整数範囲では割り切れない(約分しても分母側に2が何個か残る))

ですので、まずはそうなるのがどの辺かを調べてください。
例えば、5! なら、1×2×3×4×5 なわけですが、この中には 2 の所で素因数2が1個、4 の所で素因数2が2個ありますから、トータルで素因数2は3個あることになります。
8! なら、2, 4, 6, 8 について調べればよく、それぞれ 1, 2, 1, 3個ですから計7個です。
この要領で、32個以上になる箇所をまず調べてください。ちょうど32個になるとは限りませんので、その場合は「初めて32個以上となる箇所」で構いません。
(これは地道に数えるのが一番早いと思います)

それがわかれば、今回聞かれているのは「2番目に小さいx」ですので、
32個以上になる箇所が仮に10なのであれば(実際にはこれではないです)、その次の11ということになります。

※ 質問文では「●X!が2の32乗で割り切れる…」となっていましたが、先頭の「●」が「何かとx!をかける」という意味であれば再度質問フォームからご連絡ください。

 

※ 理解を優先するために、あえて大雑把に書いてある場合があります

 
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