| 〔質問〕 |x|+|x-2|=4を解く問題で、模範解答では場合分けをして解いてあったのですが、|x|=cの解x=±cを使って、x+x-2=±4で解いたらダメなのでしょうか？答えは場合分けする時と同じになります。 |
| 〔回答〕 結論から言うと、この解法はダメで、答えが合った場合はたまたまのものになります。 まず、|x|=c が x=±c になる件ですが、 言い換えると、「何かの絶対値が定数」の形式（|●|＝c）でなければ、上記のように考えていくことができず（「絶対値」の意味合いに沿って考えられず）、結論としても ±c というのを導くことができないのです。 今回のような |A|＋|B|＝c というタイプの場合、聞かれているのは「Aの絶対値とBの絶対値の和がc」というものです。「何かの絶対値が定数」という状況ではないため、「±c」とすることができないということになります。 以上のことを踏まえ、絶対値を含む方程式・不等式では、 |
一般に、|A|＋|B| と |A＋B| は異なる値になります（つまり、別物）。
実際に、例えば、A＝3, B＝－1 のとき、|A|＋|B| は 3＋1 の 4 ということになりますが、
|A＋B| であれば、先に A＋B を計算した 2 の絶対値ということで 2 になります。
そのため、|A|＋|B|＝|A＋B| という進め方ができません。
ただし、A と B が同符号なのであれば |A|＋|B| と |A＋B| は等しくなります。
A＝3, B＝1 のとき、|A|＋|B| はそのまま 3＋1 で 4、|A＋B| は |3＋1| で |4| より、4。
A＝－3, B＝－1 のとき、|A|＋|B| は 3＋1 ということになり 4、|A＋B| は |－3－1| で |－4| となってから、よって 4 となります。
ただ、「同符号であるため |A|＋|B|＝|A＋B|」と処理するのは答案上はあまり一般的ではないため、できるだけ原則通り「絶対値記号は１つずつ外す」というやり方で進めてください。
また、よくある間違いとして、|x－2|＝4x のように右辺が定数でない場合、x－2＝±4x とすることはできません。
＝±c のようにできるのは「何かの絶対値が定数」（右辺は定数）の場合に限られることに注意してください。
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