| 〔質問〕 推測して数学的帰納法で証明する漸化式に関してですが、たしかに推測した一般項は正しいとはわかりますが、それだけに定まるとは言い切れないのではないですか？ |
| 〔回答〕 はい、厳密なロジックとしてはそうなります。 あくまでも「その漸化式を満たす一般項の１つ」を求めたにすぎず、一意性（他にはない）については言及できていません。 ただ、実際の入試問題に関してはそこまでの議論は要求されていませんので、シンプルに推測した一般項についてだけ考えればそれでいいです。 |
〔補足〕
推測タイプに限らず、「次の項が１通りに定まる」という通常の漸化式の場合、実際には一意性は保証されます。
推測タイプに限らず、「次の項が１通りに定まる」という通常の漸化式の場合、実際には一意性は保証されます。
理由については、
２つの数列 {an} と {bn} について、これが同じ漸化式を満たすとします。
それぞれの初項 a1, b1 が等しいのであれば、a1 → a2 と b1 → b2 は同じ漸化式から１通りに値が得られるはずですので、よって、a2＝b2 となるはずです。
第３項目以降も同様ですので、つまり、「どこかで違う値が出てくる」ということが起こりません。
ですので、
・初項が１通りに定まっている
・次の項が１通りしか出てこない漸化式
なのであれば、該当する数列（の一般項）は１つしかないことになります。
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