| 〔質問〕 テイラー展開を使えばどんなことができるのですか？ |
| 〔回答〕 原則として大学範囲になりますが、与えられた曲線に近いn次曲線を求めるというものです。 例えば、y＝cosx は「x＝0 付近では y＝1－x2/2」に似ている、というようなことを求めるものです。 |
〔詳細〕
「f(x) を x＝a でテイラー展開」すると、
「f(x) を x＝a でテイラー展開」すると、
\[ f \big(x\big) =f \big(a\big) + f’\big(a\big) \big(x – a\big) + \frac{f’’\big(a\big)}{2!} \big(x – a\big)^{2} + \frac{f’’’\big(a\big)}{3!} \big(x – a\big)^{3} + . . . \]
というように変形ができるというもので、要はその点における近似式を求めています。
高校範囲でいうと x＝a での接線というのが「１次までのテイラー展開（２項目までの f(a)＋f'(a)・(x－a) でストップ）」に相当し（接点の箇所において、その曲線に最も似ている直線）、
２次までのテイラー展開であれば、「x＝a 付近で、y＝f(x) のグラフを放物線で近似したもの」という意味合いを持ちます
y＝f(x)＝cosx の、x＝0 付近の場合、
y＝cos0＋(－sin0)(x－0)＋(－cos0)(x－0)2/2＋sin0・(x－0)2/6＋…
＝1＋0－1・(x－0)2/2＋0＋… というもので、
後ろの「＋…」を無視するなら y≒1－x2/2 ということになります。
あと、高校範囲だと、ex＝1＋x＋x2/2＋… というのを扱うこともありますが、
これは f(x) を x＝0 でテイラー展開したもの（特に x＝0 でのテイラー展開をマクローリン展開と呼ぶ）になります
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