〔詳細〕
ベクトル (1, dy/dx) について、これはベクトルの成分の意味合いとして「x方向に1進んだときに、y方向に dy/dx だけ進む」ということで、要は「接線の傾きに関する話」をしています、というものです。

例えば dy/dx＝3 なら、(1, dy/dx) とは (1, 3) のことで、「x方向に1進んだときに、y方向に3進む」ということを意味しています。
図形的には「接線上にこのベクトルがある」というイメージでOKです。

ということは、あとは通る点さえ分かればよく、例えば接点が (4, 5) なのであれば、y＝3(x－4)＋5 という計算をすればいいことになります。
 
 
もし、解説で「内積＝0」の話をしているのなら、それは法線ベクトルの成分を求めていることになります。
(1, dy/dx)＝(1, 3) なのであれば、例えば (3, －1) は (1, 3) に垂直なベクトルになっています（他の (6, －2) とかでも可）

法線ベクトルの成分が分かれば、「ベクトル (a, b) は、直線 ax＋by＋c＝0 の法線ベクトルの１つ」という話を使うことができます。
具体的には、「法線ベクトル(の１つ)の成分が (3, －1) より、求める接線の方程式を 3x－y＋c＝0 とおける」というようにして、「これが (4, 5) を通る（ので代入する）」という解法もとれます。