〔詳細〕
まず冒頭に、例えば「x＝3」と「x²＝3x」は同じことを指しているのか（同値なのか）を考えたとき、後者は x＝0 も解になっています。
つまり、x＝3 の両辺に x をかけることで、「x＝3 だけのもの」を「x＝0, 3 が該当するもの」に変えてしまったということになります（変形としてはよくない）。

これを踏まえて、極方程式に関しては、
本来は「r＝f(θ) を満たす (r, θ) を考えたい」というのがゴールなわけですが、両辺に r をかけた r²＝r・f(θ) の方で話を進めると「r＝f(θ) を満たす (r, θ) と、r＝0」というものに対応してしまいます。

もし、本来の r＝f(θ) の方で r＝0 という解がないケースであれば、r²＝r・f(θ) の方では勝手に r＝0 が紛れ込んでくることになります。
仮に r＝2＋cosθ という極方程式があったとすると、0＝2＋cosθ を満たす θ は存在しないことから r≠0 ということになりますが、一方で、r²＝r(2＋cosθ) という方程式だと r＝0 も含まれてしまっていることになります。
 
 
一方、本来の r＝f(θ) の方で r＝0 という解があるのであれば、r²＝r・f(θ) になったとしても全く支障はなく（r＝0 のことが紛れ込んできても、すでに r＝f(θ) の段階で存在している）、そのまま r＝f(θ)（の解）を r²＝r・f(θ)（の解）として話を進めて構わないことになります。