| 〔質問〕 「n を自然数とする。n、n+2、n+4 がすべて素数であるのは n＝3 の場合だけであることを証明せよ」 この問題が理解できないので解説お願いします |
| 〔回答〕 素数であることの証明なので、(n＝3 以外の場合に)「何かの倍数になってしまう」ことを言えばいいことになります。 まず、n が偶数のときは、n、n+2、n+4 ともすべて偶数になりますからアウトです。ですので、n は奇数に限られます。 その上で、n、n+2、n+4 という３数を扱うわけですが、このように３つの数で倍数問題を扱う場合は「どれかは『３ごとの周期』に引っかかるのでは？」というイメージで、３の倍数(…3ごとに繰り返す)かどうかの検証をしてみます。 ※ 青字の箇所のイメージがつかみにくい場合は、ひとまず読み飛ばしてください 具体的には、n を ・n＝3k のとき ・n＝3k＋1 のとき ・n＝3k＋2 のとき（それぞれ k は整数） の３つに場合分けしたときに、それぞれで n、n+2、n+4 のどれかが３の倍数になってしまうことを確認してください。 ここまでの話で、 ・n は奇数であり ・n、n+2、n+4 のいずれかは３の倍数 ということがわかりました。 この２つのことをクリアして素数になるためには、少なくともその３の倍数が(３の倍数の中で唯一の素数である) 3 であることが必要で、これをもとに具体的に数字を確認すれば、3, 5, 7 しかありえない、ということになります。 |
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