| 〔質問〕 a, b, c, d を実数とするとき、３次方程式 ax3＋bx2＋cx＋d＝0 が複素数の解 x＝α をもつとき、その共役な複素数も解であることを証明せよ この問題で x＝αバー を①に代入して \[\ a \times \overline{ \alpha^{3} } + b \times \overline{ \alpha^{2} } + c \times \overline{ \alpha } +d=0 \] この式が、 \[\overline{ a } \times \overline{ \alpha^{3} } + \overline{ b } \times \overline{ \alpha^{2} } + \overline{ c } \times \overline{ \alpha } +\overline{ d }=0 \] となるのはなぜですか？ |
| 〔回答〕 まず、冒頭に、「複素数の解 x＝α をもつとき」というのは「a・α3＋b・α2＋c・α＋d＝0」というところまでしかできません。方程式に x＝αバー を代入することはできませんので注意してください。 むしろ、「a・α3＋b・α2＋c・α＋d＝0」を変形していった結果、「方程式に x＝αバー を代入した形」を導く、というのが正しいやり方になります。 それはさておき、質問の箇所については、共役な複素数を考える際に実数を取り出せるかどうか、ということですが、この手の複素数の計算では基本に立ち返って、(a＋bi) 型の表現方法で確認すればわかりやすいです。 今回の場合、例えば最初の項について a＝x1＋0・i, α3＝x2＋y2・i とおくと（x1, x2, y2 は実数）、 （質問文とは計算の向きが逆ですが） \[\overline{a \times \alpha ^{3} } \] \[\ = \overline{ \big( x_{1}+0i \big) \times \big( x_{2}+y_{2}i \big)} \] \[\ = \overline{ \big(x_{1}x_{2}+x_{1}y_{2}i\big) } \] \[\ =\big(x_{1}x_{2}-x_{1}y_{2}i\big) \] \[\ =x_{1} \times \big(x_{2}-y_{2}i\big) \] \[\ = a \times \overline{ \alpha ^{3} } \] となりますので、積を分解することが可能ということです。 （他の項でも同様です） |
| アンケートへのご協力をお願いします（所要２～３分） |
|---|
| 「将来設計・進路」に関するアンケートを実施しています。ご協力いただける方はこちらよりお願いします （Googleフォームにアクセスします） |
