| 〔質問〕 「実数 a, b が b＝2a を満たしながら変化するとき (a＋b, ab) を座標とする点Pはどのような曲線を描くかその軌跡を求めて図示せよ」 「実数 a, b について x＝a＋b, y＝ab とする。a, b がすべての実数をとって変化するとき点 (x, y) が動く範囲をxy平面に図示せよ」 という2つの問題はどっちも x＝a＋b, y＝ab で条件は同じなのに a、b を2解にもつ2次方程式を考えるのが後者の問題だけなのはなぜですか？ |
| 〔回答〕 両方ともに共通してすべきことは ・x, y が存在する（＝対応する a, b がきちんと存在する）ことを踏まえた上で、 ・媒介変数である a, b を消去する という作業です。 １つ目の方は、代入するだけでこの作業が完了するので、一見シンプルな問題に感じると思います。 ２つ目の方も本来的な意味でやるべきことは同じです。 ですので「a, b を消去する」という点では、a＋b＝x, ab＝y という連立方程式を考えて a, b を消去しても構いません。 （ただし、その途中で、対応する a, b が存在する条件を求める必要があります） これを踏まえた上で、この作業を進める別解として２次方程式の話に変えてしまうことができる、という話です。 １つ目の方でも適用することはできますが、こちらの場合は b＝2a という制約がある関係で、実際にはかえってめんどくさくなります。 |
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