| 〔質問〕 「円C：x2＋y2＝1 の内部に定点A(0,a)がある。（以下、著作権の関係で省略）」 答えは分かっているのですが、そこまでの解法や方針がわかりません。お願いします。 |
| 〔回答〕 一旦、途中までですが、点P, Q の座標を P(cosθ, sinθ)、Q(cosφ, sinφ) というおき方をすればできないことはないと思います（単位円上の点なので、こういうおき方ができる）。 また、求める接線の交点を R としておきます。 このとき、２本の接線は cosθ・x＋sinθ・y＝1 と cosφ・x＋sinφ・y＝1 ですから、この連立方程式を解けば、R の座標が求まります。 また、θ と φ の間には、AP⊥AQ の関係がありますから、「傾きの積＝－1」の式を立てれば、cosθ, sinθ, cosφ, sinφ の関係式が出てきます。 これらを組み合わせれば、答えは出ると思いますが、ちょっと、計算が複雑なので、他の方法も考えてみます。 （加筆） 別解の１つとして、以下のような発想も可能です。無理矢理な感じもありますが、一応、答えは出ましたので紹介しておきます。 まず、点(X, Y) を通り、傾き m の直線は y＝m(x－X)＋Y となりますが、これと単位円とが接するとき、 x2＋(mx－mX＋Y)2＝1（※１）が重解を持てばよくて、 これの判別式の計算が (1－X2)m2＋2XYm＋1-Y2＝0 となります。 これの２解を m1, m2 とすれば、解と係数の関係から m1＋m2 と m1×m2 が求まります（※２）。 また、P, Q の x座標 x1, x2 は、方程式（※１）について解の公式（と判別式＝0）を用いると、X, Y, m の式として求めることができ、ここから y1, y2 も求まります（※３） 一方、∠PAQ＝90° のことから、傾きの積を用いると、x1, x2, y1, y2, a の関係式が得られます（※４） 以上の（※２）～（※４）を用いて、m1, m2 と、x1, x2, y1, y2 を消去すれば、一応、答えは出ました |
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