| 〔質問〕 ３次関数 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）のグラフがそのグラフ上の点M(p,f(p))に関して点対称であるような p の値を求めよ。 この問題が解説を読んでもまったくわかりません |
| 〔回答〕 点対称であるということは「ある点を指で押さえてクルっと180°回せばちょうど重なる」ということですが、結論としては３次関数のグラフでは「極大の箇所」と「極小の箇所」との中点が対称の中心となります。 （実際にはこの結論だけを覚えておいてもらったも差し支えありません） 求め方ですが、点対称ということは、グラフ上の (t, f(t)) という点（Aとします）について、P に対して反対側の点（Bとします）をとったときに（Pが線分ABの中点になっている）、その点Bも関数 f(x) 上にある、ということを言えば、 「ある点に対して、常に対応する反対側の点が、同じ関数上にある」ということで、点対称であるといえます。 この内容を数式化して示してください。 つまり、点A (t, f(t))、点B (s, f(s))、点M (p,f(p)) について、P が線分ABの中点であればいいので、 ・x座標：(t＋s)/2＝p ・y座標：(f(t)＋f(s))/2＝f(p) という関係になっていればよくて、 これがすべての t（もしくは s）で成り立つ、つまり、t に関する恒等式、というように考えれば答えが出てくる…、と思います…（笑） |
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