| 〔質問〕 増減表の符号の付け方がわかりません。今のところ実際に適当な値を代入して判断していますが、それだと時間がかかったり、三角関数の時に例えば π/3 と π/4 の間の値となると何を入れていいか分からなくなり、限度があるような気がします。何かいい方法がありましたら教えてください。 また、調べると、微分した式のグラフを書いて符号を判断するというやり方もあるそうですが、それは数Ⅲになっとき複雑な式だと難しくなる気がしますが、これはどうなのでしょう。 |
| 〔回答〕 まず、前提として、f'(x)＝0 の解は求めている、ということで大丈夫でしょうか？ f'(x) の正負はここを境目とする話ですので、まずはこの作業が必要です。 その上で、もし導関数が因数分解できるようなものなら、それぞれで正か負かを判断してもらう方法はあります。 f'(x)＝(x＋1)(x－2)(sinx＋1) のようなとき、(sinx＋1) は（0か）正ですので、 例えば f(π/3) とかであれば、順に「正」×「負」×「正」で、結果「負」というように、具体的な値を求めなくても正負の判断ができます。 他にも、導関数が以下のように複雑なものであっても、 \[\ f’\big(x\big)= \frac{e^{x} \big(x+1\big) }{x \big(1\ +logx )^{2} } \] 分子の ex と、分母の (1＋logx)2 は x の値によらず常に正ですから、正負の判断としては無視して構わないところになります。 結局、大事なのは、分子の x＋1 と、分母の x のところだけになりますので、この２つが正なのか負なのかの検証をすればOKです。 基本的には、このようなショートカットが有効かなと思いますが、このようにいかない場合は、やはり代入して計算しないといけないかなと思います。 「微分した式のグラフ」の件は、考え方としてはむしろこの方が正しいと思いますが（上記のような、単純に正負の判断だけをするのは、この微分した式のグラフを書く作業を省いている）、ご指摘の通り、グラフそのものを書くのが手間になることも考えられますので、無理に利用しなくてもいいと思います。 |
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