| 〔質問〕 ２直線 ・ax＋by＋c＝0 ① ・a’x＋b’y＋c’＝0 ② がある。このとき「①と②が平行(または一致)となるときab’−a’b=0である」ことを示せという問題で、 ① において、 b≠0 のとき y＝－a/bx－c/b ①’ b＝0 のとき x＝－c/a ①” ② において b’≠0 のとき y=－a’/b’x－c’/b’②’ b＝0 のとき x＝－c’/a’ ②” (i) b≠0 かつ b’≠0 の場合 ①’の傾きと②’の傾きが等しければよいから－a/b＝－a’/b’ a/b＝a’/b’ ab’＝a’b ab’－a’b＝0 ③ (ii) (i)以外の場合 ① ②ともにy軸に平行になればよいから①は①” ②は②”の形となればよい つまり b＝0 かつ b’＝0 ④が条件 このとき④は条件③に含まれている 以上(i) (ii) より①と②が平行(または一致)となる条件はab’－a’b＝0となる (ii) (i)以外の場合 「① ②ともにy軸と平行になればよいから①は①” ②は②”の形となればよい」の部分がわかりません。 (i)以外の場合ということは、b=0 かつ b’=0 の場合もあるというとだから、なぜ ① ② ともにy軸と平行になるかわかりません |
| 〔回答〕 まず、冒頭に、 直線というのは、図形的なイメージを持ちやすくするために、y＝mx＋n という書き方をするのがふつうですよね？ こうしておけば、傾きが m、切片が n というようにわかりやすくなります。 ただし、こう書く場合の唯一の欠点が、縦線（y軸と平行な直線）を表現できないことです。 ですので、その場合は x＝● というような書き方をする必要があるわけです。 このことを解決する方法が、ax＋by＋c＝0 という形式で記述することです。 こうすれば、（b＝0 とすれば）縦線も含めて表現することができるわけです。 （ただし、今度は、図形的なイメージ（傾き・切片）がわかりにくくなります） こうした事情を踏まえて、今回の問題に関しては、ax＋by＋c＝0 についての平行条件ですが、 「平行」と言われたとき、いわゆる「傾きが等しい」というケース（y＝mx＋nの発想）を想像しますが、 実際にはこれでは「縦線同士の平行」が考慮されていないわけです。 ですので、今回の答案としては、(i) 斜めの直線としての平行 と (ii) 縦線としての平行 を別々で考えている、ということです。 そして、それぞれで別々に考えた結果、ある意味たまたま ab’－a’b＝0 という式に一本化できるので、(i) (ii) をひっくるめてこの公式を使うことができる、ということです。 |
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