| 〔質問〕 「1111…1111 の中に2017で必ず割り切れるかずが存在することを証明せよ。また、その数を求めよ。」 学校で出された問題ですがわからないので教えてください。 鳩ノ巣原理や、フェルマーの定理で証明はできるらしいのですが、証明はできたかなぁと思っても数は答えが出せません。 お願いします。 |
| 〔回答〕 おそらく以下で大丈夫だと思います。確認をお願いします 〔フェルマーの小定理〕a と p は互いに素、かつ、p が素数 ⇒ ap－1≡1 (mod p) これを利用して、10 と 2017 は互いに素、かつ、2017 は素数なので、 次に、102016－1 は 10000…000 の１個手前なので、9999…999（9が2016個） 2017 と 9 は互いに素なので、9×1111…111（1が2016個）＝2017・(9k) という形になっているはずで、よって、1111…111（1が2016個）＝2017k |
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