【質問】数学（中学）：平行四辺形の中での面積比

〔質問〕
平行四辺形ABCDで、辺AB、CD、DAの中点をそれぞれE、F、Gとする。また、CEとBF、BGの交点をそれぞれP、Qとする時、平行四辺形ABCDと三角形BPQの面積の比を最も簡単な整数の比で表せ。

数学が苦手な僕にもわかるようにアドバイスをお願いします。

〔回答〕
今回の質問の問題、「平行四辺形の中での面積比」の問題は重要なものです。
よく出題されますので、ぜひマスターしてください！
ただ、様々な要素が含まれているので、解答が複雑になってきますので計算ミスには注意しましょう。

ポイント①
図形全体の面積と、その一部の面積を比べる問題では「全体を1」として、
その部分ごとに「〇/〇」と分数で割合を示して解いていきましょう。

ポイント②
線分を2点で内分している線分の比は、「その内分する点を共有する2組の相似な三角形を探す」ことです。
この2組の相似な三角形は砂時計型（ちょうちょ型）である場合がほとんどです。

解説です。

BGの延長とCDの延長との交点をRとする。
このとき、△ABG≡△DRGとなる。
（AG＝DG、∠AGB＝∠DGR（対頂角）、∠GAB＝∠GDR（錯角））
よって、AB＝DR…①

△BEQ∽△RCQ（対頂角と錯角が等しい）なので、
BE：RC＝EQ：CQ＝1：4…②
（BE＝（1/2）AB、RC＝2RDであること、①より）

△BEP≡△FCP（BE＝FCと錯角が等しい）なので、
BE：FC＝EP：CP＝1：1…③

②③より
EQ：CQ＝1：4、EP：CP＝1：1より、
EQ：QP：PC＝2：3：5…④

ここで、平行四辺形ABCDの面積を1とすると、
△ABC＝1/2　となり、
△EBC＝1/4…⑤　となる
（△ABCと△EBCの高さは同じなので、底辺の比が面積の比となる）

④より、EQ：QP：PC＝2：3：5 なので、
△EBQ：△QBP：△PBC＝2：3：5…⑥ となる。
（3つ三角形の高さは同じなので、底辺の比が面積の比となる）

⑤⑥より
「△QBPは△EBCを2：3：5に分けたうちの3」であることがわかる。
よって、（1/4）×（3/10）＝3/40

平行四辺形ABCD：△BPQ＝1：（3/40）となり、整数の比に直せば答えとなります。

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