以下、ベクトルを太字で記載します。
| 〔質問〕 △ABC で AB・BC＝BC・CA＝CA・AB が成り立つとき、△ABC はどんな三角形か。という問題で、 AB・BC＝BC・CA より、AB＝CA、 BC・CA＝CA・AB より、BC＝AB、 したがって、AB＝BC＝CA という風に解いていったのですが、よくよく考えてみると三角形の辺のベクトルが全て等しいのはあり得ないということに気づきました。一体この解法のどこが間違っていたのでしょうか？ |
| 〔回答〕 内積については「a・b」で一つの記号として捉えてください。 あくまでも定義は |a|×|b|×cosθ であって、「ベクトルa」と「ベクトルb」の「かけ算」というわけではありませんから、a・b＝b・c の両辺を b で割るというようなことができません。 （|a|×|b|×cosθ＝|b|×|c|×cosφ とした上で両辺を |b| で割るのは可能） ですが、内積の性質として（定義に忠実に従って導かれることですが）、「移項」や「くくる」などの計算は可能です。 ですので、内積はかけ算というよりは、「かけ算みたいな計算もできる記号」くらいに捉えておいた方が無難だと思います。 今回の問題については、順番に、まず AB・BC＝BC・CA について、両辺を割るのではなく（そもそもできない）、移項して BC でくくってください。 すると BC・(AB－CA)＝0 となって、その後、BC・(AB＋AC)＝0 というように計算を進めて、図形的な意味を考えていきます。 |
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