| 〔質問〕 角の二等分線の定理を、ベクトルを用いて証明してください。 |
| 〔回答〕 以下、図を書きながら確かめていってください。ここでは△ＯＡＢの∠Ｏを半分に割っています。 また、ベクトルを太字で記載していて、ベクトルOA を a、ベクトルOB を b としています。 まず、角の二等分線については、基本的に２つの単位ベクトル（大きさ１のベクトル）を用いて表現します。 ベクトル a と b について、これをその大きさで割れば、単位ベクトルになります。 （a/|a| と b/|b|） このとき、２つの単位ベクトルを足した a/|a|＋b/|b| はちょうど角Ｏのところを二等分するベクトルになっています。 （長さ１のひし形ができるため） したがって、角の二等分線は変数 t を用いて、t（a/|a|＋b/|b|）と表現できます。 （上記の a/|a|＋b/|b| というベクトルを伸縮させればいいため） 次に、角の二等分線の定理については、「角の二等分線」と「辺ＡＢ」の交点（Ｃとします）について考えます。点ＣはＡＢ上にあることから、ベクトル c については、a と b の係数の和が１となっていなければいけません。 つまり、t/|a|＋t/|b|＝1 となり、ここから t、および c を求めることができます。 求まった c の式を見てもらえば、|a|：|b| という内分点になっています。 |
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