| 〔質問〕 条件「x＞pなる全てのxに対してx＞qならば、p≧qである」の否定が「p＜qならば、あるxに対してx＞pかつx≦qである」となるのはなぜですか？ |
| 〔回答〕 まず条件の否定ですが、基本的な知識を復習しておきましょう。 以下では否定を、⇔ の記号を使っています。 （実際の記号の意味とは異なりますのでご注意ください） （１）a>b ⇔ a≦b （２）あるx ⇔ すべてのx （３）“A” ならば “B” ⇔ “Bの否定” ならば “Aの否定” 今回の問題について、“A” ならば “B” に当てはめると、 “x＞pなる全てのxに対してx＞q” が “A” となり、 “p≧q” が “B” となります。 ですので、（３）を考えるに当たっての “Bの否定” は “p＜q” です。 同様に “Aの否定” は、“x＞pなるあるxに対してx≦q” となり、これを言い換えると、“あるxに対してx＞pかつx≦qである” となります。 ここで注意したいのが、x＞pが、x≦pになっていないことです。 x＞pという条件は、問題の前提条件であるのでx≦pとしてはいけないということです。 なぜなら、Aの “x＞pなる全てのxに対してx＞q” は、“x＞pとする。そのような全てのxに対してx＞q”と言い換えることができますからね。 （※ これは、「x，yが実数とする。x＝2かつy≠5」の否定は「x，yが実数とする。x≠2またはy＝5」とする理由と同じです。x，yが実数とするという条件は問題の前提条件であり、つまり実数の世界のみで考えるという断りです） |
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