| 〔質問〕 一組の向かう内角の和が180°である四角形は円に内接することを証明してください。 （対角の和＝180° ⇒ 円に内接する） |
| 〔回答〕 四角形ABCDについて、∠A＝α、∠C＝180°－α とします。 まず、点Cは無視して、△ABDの外接円を考えてみます（三角形の外接円は必ず存在します）。 このとき、点Aから見て辺BDの反対側に適当に点Eをうちます。 すると、四角形ABEDは円に内接していますので、∠E＝180°－α となります。 ※「円に内接する四角形 ⇒ 対角の和＝180°」については、円周角の定理（中心角が２倍になる）を用いればすぐに示せますので、こっち方向の矢印（⇒）のことは使ってもらって差し支えありません。 すると、∠E＝∠C（＝180°－α）ということになります。 ここで「円周角の定理の逆（角が等しければ同一円周上にある）は成り立つ」ことを利用すれば、点Cは、点B,E,D の３点と同一円周上にあることになり、よって、点A,B,C,D（及びE）は同一円周上にあることになります。 |
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