質問

17¹³＋13¹⁷ の１の位を求めよという問題がありました。
解説を読みますと、17² の１の位は 7²（2桁の数の１の位）と同数になる。さらに 7² を２乗した数は 17⁴ の１の位と同数になる。4乗を13乗にするには 7⁴ の１の位である 1 をさらに４乗したものに 17 をかけてやれば 17¹³ が求められる。同様に13も求められる。7¹³ の１の位は 7 で、13 の１の位は 3 。よってこれを足すと 10 であるので答えは 0。というものでした。

そこで２点質問があります。
（１）7 も 3 も２乗してさらに２乗すると１の位が 1 になりました。これはどの数でも起こりうる現象なのでしょうか。それとも 3 や 7 が素数だとか何か特別な数字だからでしょうか。
（２）２桁の整数の２乗の１の位は、その整数の１の位の２乗と同じになるというのはいつでもそうなのでしょうか。
 

回答

まず、この手の問題では、「１の位」＝「10で割った余り」という捉え方をします。以下、その見方で進めてください

先に質問の結論としては、
（１）結果的に、素数に限らず「１の位が、1, 3, 7, 9 の数」であれば、２乗の２乗（つまり４乗）したときの１の位は 1 になります
（２）２桁に限らず、常に「ある数の２乗の１の位」は、「その数の１の位の２乗の、１の位」と同じになります
 

詳細

まず、問題文についてですが、17ⁿ を考える際、１の位というのは、10 で割った余りですから、
17¹＝10＋7　という捉え方からスタートしてください。
すると、17² は（17¹ に 17 をかけたと捉えて）、17²＝（10＋7）×17＝10×17＋7×17 となりますが、このとき、10×17 の部分はこの時点で10の倍数であることが確定します。ですので、結局、7×17 の１の位だけ考えれば、17² の１の位がわかることになります。
実際には、7×17＝119 ですから、17²＝10×●＋9 ということになります

この次も同様で、
17³＝17²×17 ですが、これは（10×●＋9）×17 のことですから、結局、9×17 の部分だけ考えればいいことになります。ですので、9×17＝153 より、3 ということになります。
そして、17⁴＝17³×17＝（10×■＋3）×17 で、3×17＝51 より、１の位は 1 となります。

※ ちなみに、この後は全く同じ計算を繰り返していきますので、１の位は、「7 → 9 → 3 → 1」の順でループしていきます
 
 
さて、質問に関してですが、結局は１の位だけを気にすればいいのですが、もっと一般的に解説すると、
あらゆる整数を 10a＋b（a は 0以上の整数、bは 0～9 の整数）というおき方をしてみます。この時、b は 10で割った余りの部分です。

すると、まず（１）２乗の２乗（＝４乗）というのは、二項定理より（または地道に展開すると）、
(10a＋b)⁴＝(10a)⁴＋4(10a)³b＋6(10a)²b²＋4(10a)b³＋b⁴ となりますが、これは最後の項を除いて 10の倍数です。
ですので、結局 b⁴（をさらに10で割った余り）が、(10a＋b)⁴ を10で割った余りと一致することになります。

さて、では、実際、これに該当するのは、
b＝0 のとき、b⁴＝0
b＝1 のとき、b⁴＝1
b＝2 のとき、b⁴＝16 で 6
b＝3 のとき、b⁴＝81 で 1
b＝4 のとき、b⁴＝256 で 6
b＝5 のとき、b⁴＝625 で 5
b＝6 のとき、b⁴＝1296 で 6
b＝7 のとき、b⁴＝2401 で 1
b＝8 のとき、b⁴＝4096 で 6
b＝9 のとき、b⁴＝6561 で 1
より、b＝1, 3, 7, 9 のときということになります
（実際には、１の位だけ取り出しながら４回かければ構いません）

 
次に（２）についてですが、今回は２乗ですので、(10a＋b)² を考えればよく、
(10a＋b)²＝(10a)²＋2(10a)b＋b²＝10(10a²＋2b)＋b² より、１の位は b² のものと一致します