高校範囲・大学受験レベルの最大公約数、最小公倍数の問題は以下のように扱ってください。

結論としては、各数字を素因数分解をしたときの、
・最大公約数：それぞれで、指数の一番小さいものを拾い上げたもの
・最小公倍数：それぞれで、指数の一番大きいものを拾い上げたもの
 
 
具体例で確認しましょう
まず、24, 36, 60 の最大公約数を求めてみます。
各数字を素因数分解すると、

24＝2³×3¹×5⁰（3つ目の 60 にそろえて 5 も書いておきます）
36＝2²×3²×5⁰
60＝2²×3¹×5¹
となります。

このとき、公約数というのは、各数字をすべて割りきらないといけませんから、例えば 2³ が含まれる数字だと 36, 60 を割りきることができないため、公約数にはなれないことになります。
これを踏まえると、今回の場合、公約数になれるのは

素因数が
・2 を 2個以下
・3 を 1個以下
・5 を 0個以下

だけ持つような数字に限定されるということです。
最大公約数はそのうちの最大のものですから、結果、2²×3¹×5⁰ の 12 ということになります。

というわけで、冒頭の「指数の一番小さいものを拾い上げたもの」についてですが、上記の素因数分解の箇所で色分けしている各指数を比べたときに、「その中で最小のもの」を拾い上げれば、結果的に最大公約数になっているということです。
 
 
次に、最小公倍数に関してですが、24, 36, 60 それぞれの倍数になっているわけですが、

24＝2³×3¹×5⁰
36＝2²×3²×5⁰
60＝2²×3¹×5¹ ですから、

・24 の倍数：少なくとも「2を3個以上」かつ「3を1個以上」かつ「5を0個以上」持っている
・36 の倍数：少なくとも「2を2個以上」かつ「3を2個以上」かつ「5を0個以上」持っている
・60 の倍数：少なくとも「2を2個以上」かつ「3を1個以上」かつ「5を1個以上」持っている
ということを意味します。
公倍数というのは、これらのすべてを満たしたものですから、素因数分解したときに、少なくとも
・2 は 3個以上
・3 は 2個以上
・5 は 1個以上
持っておかないといけないということです。

最小公倍数は、その公倍数のうちで一番小さいものですので、今回で言うと、2³×3²×5¹ の 360 ということになるわけです。
 
 
というわけで、冒頭の「指数の一番大きいものを拾い上げたもの」というのは、素因数分解の箇所で色分けしている各指数を比べたときに、「その中で最大のもの」を拾い上げれば、結果的に最小公倍数になっているということです。