| 〔質問〕 「自然数x, y, z が x2＋y2＝z2 を満たすとき、x, y, z の少なくとも一つは４の倍数であることを示せ。」という問題なんですが、４の倍数と書いてあるので４を法とする合同式で証明しようとしましたが、失敗しました。なぜ失敗してしまったのでしょうか。ちなみに、模範解答は８を法とする合同式で証明していました。 |
| 〔回答〕 いえ、やろうと思えばできると思います。必要条件の段階で可能性が消滅しなかった、ということであれば、十分条件の確認（本当にそのようなケースがあるのか）までしてみてください |
詳細
少々、だらだら書きますので、ついてきてください
※ たぶんあってると思いますが、オリジナルで考えましたので、論理的におかしい箇所、もしくはもっとシンプルにできる箇所があればぜひ指摘してください！
今回の問題は「少なくとも」という文言がありますので、背理法を用いてみます。
つまり、「すべてが４の倍数でないと仮定したとき」に矛盾が生じることを示します。
で、今回、法を４（以下、mod4）としたとき、
x≡0 以外（x≡1, 2, 3 のいずれか）だと仮定するわけですが、このとき、
・x≡1 のとき、x2≡1
・x≡2 のとき、x2≡4≡0
・x≡3 のとき、x2≡9≡1
よって、ありえる x2 は 0, 1 のいずれかになります（y, z も同様）… ①
ですので、x2＋y2（＝z2）でありえるのは、0＋0, 0＋1, 1＋0, 1＋1 のいずれかということです。
ただ、最後の 1＋1 の 2 については、① の理由から、z2 の余りとしてはあり得ません。
よって、「もしも、それぞれが４の倍数でなく、x2＋y2＝z2 を満たしているなら」、x2＋y2 は、0＋0, 0＋1（または1＋0）のいずれかのケースしかないということです。
簡単な背理法の問題であればこの段階くらいで可能性が消滅してくれていますが、今回はまだ生き残っているわけです。ですので、この残されている可能性についても潰してやればいいわけです
さて、ここで注意してほしいのは、今までの話は「必要条件を考えているにすぎない」ということです。実際には制約条件はもっときついわけで、z2≡0, 1 になったからといって、必ず x2＋y2＝z2 となるとは限らないわけです。
というわけで、本当にこのような形で x2＋y2＝z2 を満たすことがありえるのかを確認せざるをえません（十分条件の確認）
（１）x2＋y2≡0＋0＝0 のとき
x, y, z は４の倍数ではないと仮定しているので、それぞれ ≡2 しかない
よって、(4k＋2)2＋(4l＋2)2＝(4m＋2)2 を満たしているはず
これの両辺を４で割ると、(2k＋1)2＋(2l＋1)2＝(2m＋1)2 となり、「奇数」＋「奇数」＝「奇数」となってしまっている
（２）x2＋y2≡0＋1＝1 のとき
x, y, z は４の倍数ではないと仮定しているので、x≡2 で、y, z≡1, 3 しかない
① (4k＋2)2＋(4l＋1)2＝(4m＋1)2 のとき
移項すると、(4k＋2)2＝(4m＋1)2－(4l＋1)2
(4k＋2)2＝(4m＋1＋4l＋1)(4m＋1－4l－1)
16k2＋16k＋4＝(4m＋4l＋2)(4m－4l)
8(2k2＋2k)＋4＝8(2m＋2l＋1)(m－l)
このとき、左辺は「８の倍数でない」、右辺は「８の倍数」という状況になっている
その他、以下の可能性についても、同様の計算を進めれば却下
② (4k＋2)2＋(4l＋1)2＝(4m＋3)2 のとき
③ (4k＋2)2＋(4l＋3)2＝(4m＋1)2 のとき
④ (4k＋2)2＋(4l＋3)2＝(4m＋3)2 のとき
よって、すべての可能性が潰されたため、背理法によって示された。
という形でいかがでしょうか
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