〔質問〕
オイラーの多面体定理を高校数学の知識で証明することは可能ですか？
 
※ オイラーの多面体定理
多面体には、「頂点の数」－「辺の数」＋「面の数」＝２ という関係が成り立つ
 
 
〔回答〕
証明というよりは説明レベルにすぎませんが、ものすごく大雑把にいうと、

（１）ある多面体から頂点を１つ無くすように切る
例えば、正八面体の上半分をそぎ落とせば、断面として正方形が出てくると思いますが、その際、
・頂点：１減
・辺：４減（この頂点は４本の辺が集まってできていた）
・面：４減＋１増（断面部分が新たに生じる）

ということで、「頂点－辺＋面」は、「（－１）－（－４）＋（－３）」ということで、変化がないことになります。

こういう作業を繰り返していけば、いずれは平面図形に落とし込むことができて、このとき、頂点の数＝辺の数で、面の数＝２（表と裏の２面、という解釈）ということに行きつきます。
 
（２）ある多面体から頂点を１つ増やす
反対に、どんどん頂点を増やすように考えてみることもできます。
頂点が１つ増えたとき、辺がｎ本増えるような定め方であれば、面は（n－１）面増えます。
面の「－１」の部分は、新たに頂点を定めることで、元々の面が１つ消える（立体の中に埋もれる）ためです。

その結果、「頂点－辺＋面」の数は変化しないことになります。
 
（１）（２）ともに、これらを正確に論じれば、証明ということになりますが、
特に（２）の方は、「数学的帰納法」の手法により、すべての多面体について成り立つことが言いやすいと思います。