背理法の使い方について質問です。
https://school-turnup.comproposition-6/を見ました。

詳細

〔質問１〕
質問してもらった通り、「素数は無限個である」のようケースでは「pならばq」という形ではないですが、背理法を用いることができます。「存在する」系の証明などで有効です。

背理法は、一般に「成り立たないと仮定すると矛盾が生じる」と説明されますが、この方が正確だと思います。
ただ、「成り立たないと仮定」とか「矛盾」の部分でつまってしまう生徒も多いですので、背理法のページは、「偽ではない＝真」ということをイメージしやすいように作成しています。

 
〔質問２〕
「証明したいが、なかなか直接的に言えないとき」というのは、「まずはふつうに証明することを考えてみて、無理そうだったら背理法でできないか検討してみる」という意図で記述しています。
背理法の指定とか、明らかに背理法の匂いがするもの（無理数の証明など）でなければ、基本的には「ふつうに証明すること」を優先してもらった方がいいと思います。

なお、証明問題に限らず、数学の問題はいろいろな解法を試していく、というスタンスが重要です。「これでいけそう」→「ダメ」→「じゃあ、この方法は」…、というのを繰り返してみてください。そういう意味で、証明問題の場合も、解法の選択肢の１つとして、背理法という手が使えないものか、というような位置づけでいいと思います。

 
※ ちなみに、背理法で証明できるものも、やろうと思えば、直接証明できると思います（まだ発見されていないものも含めて）。ただ、大学入試の範囲は超えてしまいますので、これ以上の内容はご容赦ください…。